Définitions

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Mathématiques

Les mathématiques sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à divers objets tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations.

Nature

« Forces » et principes physiques, géologiques, tectoniques, météorologiques, biologiques, l'évolution qui constituent l'univers et celles qui animent les écosystèmes et la biosphère sur la Terre.

Histoires conjointes

L’histoire des mathématiques et celle du développement de la compréhension de la nature se sont développées conjointement.

Mais laquelle de ces deux histoires alimente l’autre ?

Projection d’un extrait du film L’empire des nombres (0:38:14 - 0:42:00).

Les nombres irrationnels : découverte ou invention ?

Fibonacci, sa suite et le nombre d’or

Leonardo Fibonacci (c. 1180 - 1250), mathématicien italien.

Suite de Fibonacci :

• F₀ = 0
• F₁ = 1
• F_{n ≥ 2} = F_{n - 1} + F_{n - 2}

0		1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
↓		↓		↓		↓		↓		↓		↓		↓		↓		↓		↓
0		1		1		2		3		5		8		13		21		34		55
	∞		1		2		1,5		1,667		1,6		1,625		1,615		1,619		1,6176

Nombre d’or :

φ = (1 + √5) ÷ 2 ≅ 1,618034

Nombre vers lequel tend le rapport de deux termes successifs de la suite.

(Rien à voir avec le nombre d’or en astronomie.)

Une famille en or : nombre, proportion, angle, section, rectangle, spirale …

φ décrit une proportion …

… de laquelle on peut déduire un angle …

• α ≅ 222,49°
• β ≅ 137,51°

… et un rectangle …

… et une spirale.

Quelques apparitions remarquées de φ …

On a remarqué la présence de φ et de ses figures associées dans diverses constructions naturelles :

… si bien qu’on a cru le voir partout

Au XIXème et XXème siècle une sorte de « fièvre de l’or » s’est emparée des scientifiques et plus largement des penseurs positivistes et scientistes. Avec un peu trop d’enthousiasme — parfois teinté de mysticisme — on a cru voir φ partout et on s’est efforcé de le chercher là où on ne l’avait pas (encore) trouvé.

Mais il est bel et bien absent de nombreuses constructions naturelles, avec des formes bien trop complexes pour que l’on puisse les décrire comme issues d’un seul et unique nombre.

On a donc fini par penser que ces constructions — parmi lesquels les arbres et les contours des côtes — échappaient aux mathématiques mêmes …

… jusqu’à ce qu’on découvre les fractales

Projection du documentaire :

Fractales, à la recherche de la dimension cachée

Question philosophique

Galilée a dit que le livre de la nature était écrit (par Dieu, à l’époque) dans le langage des mathématiques …

… à moins que les mathématiques ne soient que le langage inventé par l’Homme pour décrire la nature.

Par exemple, des nombres commes les irrationnels, ou les parties dites « imaginaires » des nombres complexes, sont-ils des découvertes ou des inventions ?